Matematikos menai atsirado Egipte, nes ten žyniai turėjo laisvo laiko
Aristotelis, „Metafizika" (I knyga)
Paminėjus senovės Egiptą, daugeliui pirmiausia mintyse iškyla faraonai, piramidės ir hieroglifai. Egiptiečiai pasižymėjo įvairiose srityse, nuo statybos iki medicinos. Visgi dažnai pamirštame dar vieną šios civilizacijos pusę – matematiką, be kurios nebūtų nei piramidžių, nei tvarkingai administruojamos valstybės. Kai kuriomis egiptiečių sugalvotomis idėjomis remiamės iki šiol, o įdomybių šioje srityje tikrai netrūksta.
Ar žinojote, pavyzdžiui, kad Pitagoro teoremą primenančiu santykiu žmonės rėmėsi dar gerokai prieš gimstant pačiam Pitagorui? Vienas ryškiausių pavyzdžių yra su Egiptu dažnai siejamas 3:4:5 kraštinių santykio trikampis. Egiptiečių matematinis mąstymas gimė iš praktiškų kasdienybės poreikių. Šias praktines, o šiandien ir nustebinančias paskatas bei kitas įdomybes čia ir paliesime.
Egiptiečių skaičių ir matematikos istorija
Egiptas garsėja ne tik įspūdingais paminklais, mumijomis ar faraonų aukso lobiais, bet ir didele įtaka skaičiavimo metodams, kurių atgarsius jaučiame iki šiol.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Gizos piramides: norint pastatyti tokius milžiniškus statinius, reikėjo talentingų inžinierių, gebančių nepriekaištingai tiksliai matuoti ir skaičiuoti.
Gyvenimiškų iššūkių (jei vieną pasaulio stebuklų taip būtų galima pavadinti), kuriems senovės egiptiečiai ieškojo matematinių sprendimų, buvo pačių įvairiausių:
Kiekvieną vasarą Egipte prasidėdavo Achetu vadintas Nilo potvynis. Vanduo užliedavo aplinkinius laukus ir palikdavo derlingo dumblo sluoksnį, bet kartu nuplaudavo ribas tarp sklypų. Vandeniui atslūgus, faraono matininkams tekdavo žemę matuoti iš naujo ir atstatyti ribas, nes nuo sklypo dydžio priklausė ir mokestis.
Egiptas turėjo sudėtingą mokesčių sistemą, tačiau pinigų dar nebuvo, tad mokesčiai būdavo mokami natūra, dažniausiai grūdais ar gyvuliais. Kiek kas turi atiduoti, apskaičiuodavo raštininkai, o surinktas gėrybes reikėdavo tiksliai suskaičiuoti, sudėti į iždą ir saugoti.
Prekyba rėmėsi mainais, o ne pinigais. Kad būtų lengviau palyginti skirtingų prekių vertę, egiptiečiai naudojo svorio vienetą debeną (apie 90 gramų vario). Jei, tarkim, pora sandalų buvo verta tam tikro debenų skaičiaus, juos buvo galima išsimainyti už tiek pat debenų vertės grūdų. Tokiai sistemai neišvengiamai reikėjo būdo fiksuoti ir skaičiuoti sandorius.
Tokie rūpesčiai mums šiandien gali atrodyti tolimi ar lengvai išsprendžiami, tačiau verta prisiminti, , kad egiptiečiai buvo vieni pirmųjų žmonijos istorijoje, sprendusių tokio masto organizacines problemas. Sprendimus jiems tekdavo sugalvoti patiems, kaskart ieškant išradingų ir praktiškų išeičių.
Žodis „geometrija" kilęs iš graikų kalbos ir pažodžiui reiškia „žemės matavimą". Toks pavadinimas neatsitiktinis: viena seniausių geometrijos paskirčių ir buvo praktinis žemės sklypų matavimas.
Įspūdinga tai, kad kai kurias iš šių kasdienių problemų egiptiečiai išsprendė taip gudriai, jog jų atradimai paliko pėdsaką visoje vėlesnėje matematikos raidoje, o kai kuriais remiamės iki šiol, prabėgus net penkiems tūkstančiams metų. Egiptiečių būdas užrašyti skaičius buvo tik vienas iš kelių, kuriuos savarankiškai sukūrė senovės civilizacijos, o lygindami skirtingas senovės skaičių sistemas galime geriau suprasti ir savąją.
Egiptietiški skaičiai ir skaičiavimo sistema
Kad suprastume, kaip skaičiavo egiptiečiai, verta trumpai pažvelgti į mūsų pačių naudojamą skaičių sistemą.
Skaičiai, kuriuos naudojame kasdien, vadinami arabiškais, o tiksliau, indiškais-arabiškais. Iš viso turime dešimt skaitmenų: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ši dešimtainė pozicinė sistema susiformavo Indijoje maždaug VI-VII amžiuje ir per arabų kraštus ilgainiui pasiekė Europą. Pozicine ji vadinama todėl, kad skaitmens reikšmė priklauso nuo jo vietos skaičiuje – pavyzdžiui, skaičiuje 10 vienetas reiškia dešimtį, o skaičiuje 100 – šimtą. Kitaip tariant, tvarka keičia reikšmę.
Nors kartais manoma, kad šiuolaikinė sistema atkeliavo iš Babilonijos, šiandien naudojame būtent Indijoje gimusius skaitmenis. Babiloniečiai iš tiesų rėmėsi pozicine sistema, tačiau ji buvo ne dešimtainė, o šešiasdešimtainė – pagrįsta skaičiumi 60.
Egiptiečiai, kaip ir mes, naudojo dešimtainį principą – skaičiavo dešimtimis. Vis dėlto jų sistema buvo ne pozicinė, o sudėtinė. Kiekvienam dydžiui (vienetams, dešimtims, šimtams ir t. t.) buvo skirtas atskiras simbolis:
| Skaičius | Egiptietiškas ženklas |
|---|---|
| Vienetas | Vertikalus brūkšnys |
| Dešimtis | Lanko formos apversta pasagėlė |
| Šimtas | Susukta virvė |
| Tūkstantis | Lotoso žiedas |
| Dešimt tūkstančių | Palenktas pirštas |
| Šimtas tūkstančių | Buožgalvis |
| Milijonas | Iškeltomis rankomis stebinčio dievo Heho paveikslas |
Reikiamas skaičius būdavo gaunamas kartojant šiuos ženklus. Pavyzdžiui, norint užrašyti skaičių 300, reiktų tris kartus užrašyti susuktos virvės ženklą.
Palyginimui, senovės kinų skaičiavimo lazdelių sistema buvo ir dešimtainė, ir pozicinė, todėl savo veikimo principu ji buvo kur kas artimesnė mūsų dabartiniams skaičiams nei egiptietiškoji.
Hieroglifai galėjo būti rašomi iš kairės į dešinę, iš dešinės į kairę arba iš viršaus žemyn. Skaitymo kryptį nustatyti paprasta: žmonių ir gyvūnų figūros visada atsuktos į eilutės pradžią, todėl skaityti reikia atsisukus ten, kur žiūri jų veidai.
Įdomus ir egiptiečių daugybos būdas. Užuot mokęsi daugybos lentelės, jie daugindavo paeiliui dvigubindamiir gautus rezultatus sudėdami. Pavyzdžiui, norėdamas skaičių padauginti iš 13, senovės egiptietis jį kaskart dvigubintų (gautų 1, 2, 4 ir 8 kartus didesnes reikšmes), o tada sudėtų tas eilutes, kurių daugikliai atitinka sumą 13 (8 + 4 + 1). Toks metodas leido neapkraunant atminties sėkmingai spręsti gana sudėtingus uždavinius.
Rhindo papirusas: egiptiečių matematikos vadovėlis
Nors žinome nemažai apie egiptiečių naudotus metodus ir skaičiavimus, žinių apie tai, kaip jie priėjo prie tam tikrų teorinių išvadų, išliko nedaug. Didžiąją dalį tekstų sunaikino laikas, o nemaža dalis papirusų pražuvo per senovės gaisrus, įskaitant ir Aleksandrijos bibliotekos netektį.
Viena svarbiausių išimčių yra vadinamasis Rhindo papirusas, datuojamas maždaug 1650 m. pr. Kr. Manoma, kad jį iš dar senesnio, apie 1800 m. pr. Kr. siekiančio originalo nurašė raštininkas Ahmesas (todėl šaltinis dažnai vadinamas ir Ahmeso papirusu).
Įžanga į visų esančių dalykų ir visų slėpiningų paslapčių pažinimą
Rhindo papirusas (raštininkas Ahmesas, apie 1650 m. pr. Kr.)
Priešingai nei kartais teigiama, jis nebuvo atrastas kasinėjimų metu. 1858 metais Luksore jį įsigijo škotų senienų rinkėjas Alexander Henry Rhind, kurio garbei papirusas ir pavadintas. Vėliau jis atsidūrė Britų muziejuje, kuriame yra saugomas iki šiol. Papirusas datuojamas maždaug 1650 m. pr. Kr.
Pats papirusas yra mokomasis rinkinys: jame pateikti 84 praktiniai uždaviniai su sprendimais (kai kurie tyrėjai jų priskaičiuoja iki 87), skirti būsimiesiems valstybės raštininkams lavinti.
matematikos uždaviniai
Uždavinių papiruse galima rasti tiek sudėtingų, tiek visai paprastų. Pavyzdžiui, keli pirmieji papiruso uždaviniai moko, kaip lygiai padalyti tam tikrą skaičių duonos kepalų dešimčiai žmonių. Pirmajame dalijamas vienas kepalas, antrajame – du, dar kitame – šeši, ir taip toliau. Toks pratimas kasdienis, bet būtent iš tokių situacijų ir atsirado egiptiečių skaičiavimo įgūdžiai.
Hieroglifinės trupmenos ir geometrijos formulės
Rhindo papiruse aptinkama ir trupmenų. Egiptiečiai naudojo metodą, primenantį trupmenų skaidymą: beveik visus dydžius jie išreikšdavo skirtingų vienetinių trupmenų suma. Vienetinė trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis lygus vienetui (pavyzdžiui, 1/2 arba 1/10). Trupmeną 3/5 jie užrašydavo kaip 1/2 + 1/10.
Didžioji dalis egiptietiškų trupmenų turėjo tik vienetinį skaitiklį. Vienintelė dažna išimtis buvo 2/3, kuriai jie naudojo atskirą hieroglifą. Papirusuose netgi buvo pateiktos specialios pagalbinės lentelės, padedančios raštininkams greitai atlikti tokius skaidymus.
| Trupmena | Egiptietiškas ženklas |
|---|---|
| 1/2 | Dešinioji akies pusė |
| 1/4 | Akies vyzdys |
| 1/8 | Antakis |
| 1/16 | Kairioji akies pusė |
Su trupmenomis susijęs ir vienas plačiai žinomas, bet šiandien mokslininkų ginčijamas pasakojimas. Dalis vienetinių trupmenų (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64) tradiciškai sietos su Horo akies (Uzat) simbolio dalimis. Pačios trupmenos buvo naudojamos tūrio matavimo vienetui hekatui (grūdams matuoti) skaidyti. Visgi šiuolaikiniai egiptologai tiesioginį Horo akies ir šių trupmenų ryšį laiko vėlesne simboline interpretacija, o ne istoriškai pagrįstu matematiniu faktu.
Nors tokių papirusų nėra itin daug, mums žinomas ne vienas išlikęs senovės egiptiečių tekstas, atskleidžiantis egiptiečių skaičiavimo paslaptis. Pavyzdžiui, Maskvos papiruse yra pateiktas nupjautinės piramidės tūrio apskaičiavimas. Tai vienas įspūdingiausių visos antikos geometrijos pasiekimų.
Egiptietiškas trikampis
Yra vienas dalykas, kurį egiptiečiai naudojo ir kurį tikriausiai atpažinsite. Pabandykite atspėti iš šių užuominų:
- Jis susijęs su trikampiu
- Padeda rasti ryšį tarp kraštinių ilgių
- Dažnai priskiriamas graikams
Kalbame apie santykį, kuriuo grindžiama Pitagoro teorema. Ryšys tarp stačiojo trikampio kraštinių buvo žinomas gerokai anksčiau, nei gyveno pats Pitagoras, vienas garsiausių senovės graikų mąstytojų. Tai tūkstančiu metų ankstyvesnis šaltinis nei graikų tekstai. Skirtumas tas, kad babiloniečiai dėsningumą taikė praktiškai, o senovės Graikijos matematikams priskiriamas pirmasis formalus jo įrodymas.
O kaipgi senovės Egiptas? Statybose naudotas kraštinių santykis 3:4:5 populiariai vadinamas „egiptietiškuoju trikampiu“. Tai statusis trikampis, kadangi 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). Didžiausias jo patogumas yra tai, kad visos kraštinės išreiškiamos sveikaisiais skaičiais. Laikais, kai atlikti sudėtingus skaičiavimus buvo sudėtinga, toks paprastumas teikė didelį praktinį pranašumą.
Kad būtų aiškiau, štai kaip pasiskirsto šio trikampio kraštinės:
[table “lt_101031” not found /]Su šiuo trikampiu siejamas ir vienas plačiai paplitęs pasakojimas: esą stačiam kampui pažymėti egiptiečiai naudoję dvylika mazgų paženklintą virvę. Egipte iš tikrųjų būta matininkų, kuriuos graikai vadino harpedonaptais („virvių tempėjais“). Jų darbas, mazgais paženklintomis virvėmis matuoti žemę ir žymėti ribas, buvo užfiksuotas kapaviečių piešiniuose.
| Kraštinė | Trikampio dalis |
|---|---|
| 3 | Pagrindas (vienas statinis) |
| 4 | Aukštinė (kitas statinis) |
| 5 | Įžambinė (ilgiausia kraštinė) |
Visgi svarbu paminėti, kad nė viename išlikusiame egiptiečių tekste neaprašyta, kad stačiam kampui sudaryti jie būtų naudoję būtent 3:4:5 virvę. Todėl istorikai šį populiarų pasakojimą laiko veikiau logiška prielaida nei patvirtintu faktu.
Kaip tuomet egiptiečiai statydami pasiekdavo tokį stulbinantį tikslumą? Egiptiečiai nematavo kampų laipsniais, kaip mes šiandien. Vietoj to jie naudojo dydį, vadinamą sekedu, kuris nusako piramidės šono nuolydį.
Sekedas rodė, kiek delnų siena turi pasislinkti į vidų kiekvienai uolekčiai (apie 52 cm) aukščio. Tokiu būdu statybininkams nereikėjo išmanyti trigonometrijos – užteko įrankio su svambalu ir vienodo santykio laikymosi kiekviename akmenų aukšte. Šis metodas aprašytas Rhindo papiruse. Pavyzdžiui, Didžiosios Gizos piramidės sekedas siekia maždaug 5,5 delno (~52° nuolydį).
Tai, kad „stebuklingojo" trikampio visos kraštinės yra sveikieji skaičiai, egiptiečiams buvo labai naudinga. Kaip matėme, skaičiuoti ir atlikti veiksmus jų sistema nebuvo paprasta.
Įdomu tai, kad tuo pačiu metu Babilonijos matematika nė iš tolo neatsiliko. Babiloniečių naudota šešiasdešimtainė sistema (pagrįsta skaičiumi 60) gerokai palengvino skaičiavimus, nes leido patogiai dalyti skaičius ir tiksliai užrašyti trupmenas. Tai labai pravertė astronomijoje ir prekyboje.
Nepriklausomai nuo to, kokius konkrečiai įrankius naudojo egiptiečių matininkai, praktinė geometrija jiems tarnavo kaip kasdienė atrama, leidusi pastatyti įspūdingas, iki šių dienų stūkstančias piramides ir didingas šventyklas. Didžioji Gizos piramidė iš pradžių siekė beveik 147 metrus ir daugiau nei tris su puse tūkstančio metų išliko aukščiausiu žmogaus sukurtu statiniu pasaulyje. Piramidės pagrindo kraštinės yra beveik idealiai lygios, o visas statinys pasuktas tiksliai pagal pasaulio šalis. Ir visa tai atlikta be geležinių įrankių, skrysčių ar kitų modernų metodų. Tai geriausias įrodymas, kiek daug slypi žmogaus gebėjime stebėti, skaičiuoti ir suvokti pasaulio tvarką.
Apibendrinti naudojant DI:
Ar jums patiko straipsnis? Įvertinkite jį!
Loading...
