Ar žinojote, kad seniausiam žinomam matematiniam įrankiui pasaulyje yra net 43 tūkstančiai metų?
Kai po ranka turime telefoną, skaičiuotuvą ir dešimtainę sistemą, kurios išmokstame dar pradinėse klasėse, lengva pamiršti, kokia ilga kelionė slypi už paprasčiausio gebėjimo suskaičiuoti daiktus. Vis dėlto būtent senovės civilizacijos padėjo pamatus tam, ką matematikoje šiandien laikome savaime suprantama.
Šiame straipsnyje pažvelgsime į kelias iškiliausias senovės kultūras ir jų sukurtas skaičių sistemas:
rėmėsi sudėtine sistema, kurioje skaičiai buvo dėliojami iš pasikartojančių simbolių.
naudojo dešimtainį principą, o skaičiavimams pasitelkė specialias lazdeles ir lenteles.
Kviečiame pasinerti į įdomiąją skaičiavimo istoriją ir iš arčiau susipažinti su kiekviena iš šių sistemų!
Senovės civilizacijų skaičių sistemos
Sunku nesižavėti tuo, kaip išradingai šios senovės visuomenės mokėjo suprasti ir užrašyti skaičius. Archeologiniai radiniai rodo žmones skaičiavus dar prieš dešimtis tūkstančių metų, žymint įpjovas ant kaulo. Seniausias toks radinys yra vadinamasis Lebombo kaulas, kuris, manoma, buvo naudotas prieš 43 tūkstančius metų. Tai babuino kaulas su 29 įpjovomis. Kai kurie tyrėjai spėja, kad šios 29 įpjovos galėjo žymėti mėnulio fazes, tad gali būti, kad tai buvo ne tik skaičiavimo įrankis, bet ir savotiškas kalendorius.
metų senumo
Skirtingos kultūros savo skaičių sistemas kūrė nepriklausomai viena nuo kitos. Babiloniečių, egiptiečių, kinų ir graikų sistemos tam tikru atžvilgiu yra keturi skirtingi atsakymai į tą patį klausimą – kaip patogiai užrašyti skaičius ir efektyviai spręsti įvairiausius kasdienius uždavinius. Kartu jos parodo, kaip laikui bėgant kito žmogaus matematinis mąstymas ir pačios visuomenės.
Vienos kultūros rėmėsi sudėtine sistema, kurioje skaičiai užrašomi kartojant ir paskui sudedant simbolius. Kitos priėjo prie pozicinės sistemos, kurioje ženklo reikšmė priklauso nuo jo vietos (pavyzdžiui, skaičiuje 555 tas pats skaitmuo, priklausomai nuo vietos, reiškia penkis šimtus, penkiasdešimt ir penkis). Pozicinis principas atrodo paprastas, tačiau žmonijai jį atrasti prireikė tūkstantmečių.
Nors kiekviena civilizacija savo skaičių sistemą kūrė savarankiškai, dauguma jų rėmėsi dešimtimi (viena iš išimčių yra senovės babiloniečiai, pasirinkę šešiasdešimtainę sistemą).
Kaip manote, kodėl būtent dešimt tapo tokiu dažnu skaičiavimų pagrindu? Atsakymą rasite teksto pabaigoje.
Skaičiavimo sistemos atsirado dėl labai praktiškų problemų – to meto žmonėms reikėjo būdų dalyti derlių, matuoti laukus, sekti prekybą ar stebėti dangų. Matematika visų pirma buvo įrankis.
Gilindamiesi į tai, kaip skaičiavo mūsų pirmtakai, galime geriau suprasti ir matematikos pamatus. Nemažą dalį senųjų civilizacijų palikimo naudojami iki šiol. Pavyzdžiui, babiloniečių šešiasdešimtainę sistemą naudojame kaskart, kai matuojame laiką ar kampus.
Egipto skaičiai
Viena seniausių skaičių sistemų, apie kurią turime rašytinių žinių, priklauso egiptiečiams. Senovės Egipto matematika laikoma viena reikšmingiausių žmonijos matematinių laimėjimų.
Apie egiptiečių sistemos praktiškumą byloja vien tai, kiek ilgai ji gyvavo: nuo maždaug 3000 m. pr. Kr. iki pirmojo mūsų eros tūkstantmečio pradžios.
Egiptiečiai skaičiavo pasitelkdami sudėtinį principą. Skaičiai buvo užrašomi kartojant simbolius, žyminčius dešimties laipsnius – vienetus, dešimtis, šimtus, tūkstančius ir taip toliau. Kuo didesnis skaičius, tuo daugiau ženklų reikėdavo.
Laikui bėgant senovės egiptiečiai ir jų matematikai sukūrė net tris skaičių rašymo būdus. Hieroglifais grįsta rašymo forma dažniausiai puošė paminklus ir iškilmingus įrašus.
| Reikšmė | Hieroglifo aprašymas | Simbolis |
|---|---|---|
| 1 | Vertikalus brūkšnys | 𓏺 |
| 10 | Pančiai galvijams | 𓎆 |
| 100 | Suvyniota virvė | 𓍢 |
| 1 000 | Lotoso žiedas | 𓆼 |
| 10 000 | Pakeltas pirštas | 𓂭 |
| 100 000 | Buožgalvis | 𓆐 |
| 1 000 000 | Dievo Heho figūra iškeltomis rankomis | 𓁨 |
Kiekvienas ženklas turėjo ir savo prasmę. Pavyzdžiui, lotoso žiedas, žymėjęs 1000, egiptiečių kultūroje buvo siejamas su atgimimu ir Nilo teikiama gyvybe.
Kasdieniam rašymui ant papiruso egiptiečiai naudojo greitesnę, sujungtą hieratinę formą. Šis kursyvinis raštas buvo vartojamas šalia hieroglifų beveik nuo pat egiptietiškos raštijos pradžios, tačiau jo skaitmeniniai ženklai, kuriuos šiandien geriausiai pažįstame, susiformavo apie 1800 m. pr. Kr. Svarbiausia naujovė buvo ta, kad hieratika kiekvienam skaičiui nuo 1 iki 9, kiekvienai dešimčiai, šimtui ir tūkstančiui skyrė atskirą, unikalų ženklą. Tai leido skaičius užrašyti kur kas greičiau ir mažesniu ženklų skaičiumi.
Norint užrašyti skaičių 9999, tam reikia net reikia 36 hieroglifų, o hieratiniu raštu tai galima padayryti naudojant vos keturiais ženklais.
Egiptiečiai ir trupmenas užrašydavo mums šiandien neįprastu būdu. Kone visas jas jie išreikšdavo vienetinių trupmenų (trupmenų su skaitikliu 1) suma. Pavyzdžiui, tai, ką mes rašome kaip 3/4, egiptietis užrašydavo kaip 1/2 + 1/4. Šie skaičiavimai užfiksuoti garsiajame Rhindo matematiniame papiruse (apie 1650 m. pr. Kr.), kuriame pateikta visa trupmenų lentelė.
Įdomiai atrodė ir jų daugyba. Užuot mokęsi daugybos lentelės, egiptiečiai daugino nuosekliai dvigubindami. Tarkime, reikia padauginti 28 iš 11. Egiptietis kelis kartus dvigubindavo skaičių 28 ir šalia žymėdavosi, kelintą kartą jį padvigubino:
1 kartas – 28
2 kartai – 56
4 kartai – 112
8 kartai – 224
Tada iš kairiojo stulpelio jis išsirinkdavo tuos daugiklius, kurie kartu sudaro 11: tai 1 + 2 + 8. Belieka sudėti šalia jų užrašytas reikšmes: 28 + 56 + 224 ir gauname atsakymą – 308. Paprasta, bet išties veiksminga.
Senovės Kinijos skaičiai
Ar patikėtumėte, kad seniausi senovės Kinijos skaičių sistemos ženklai siekia daugiau nei 3000 metų? Ankstyviausius kinų skaitmenis randame ant vadinamųjų orakulų kaulų – gyvūnų kaulų ir vėžlių šarvų, kuriuos Šanų dinastijos laikais (apie 1200 m. pr. Kr.) naudojo būrimui ir įrašams. Jau tada kinai skaičiavo dešimtimis.
Įdomu tai, kad kinai ilgą laiką puikiai vertėsi be nulio. Ankstyvoji jų sistema rėmėsi dešimtainiu principu, tačiau nebuvo pozicinė, todėl atskiro ženklo nuliui net neprireikė. Skaitmens dydį nurodydavo ne jo vieta, o patys reikšmių pavadinimai – ženklai, žymintys dešimtis, šimtus ar tūkstančius.
Svarbus lūžis įvyko Kariaujančių valstybių laikotarpiu, maždaug V–IV a. pr. Kr., kai Kinijoje paplito skaičiavimo lazdelės, o kiek vėliau – ir skaičiavimo lentos.
Jos atnešė dešimtainę pozicinę sistemą – itin pažangią tų laikų idėją. Skaičius nuo 1 iki 9 vaizdavo mažos bambuko lazdelės, dėliojamos ant lentos langelių, o kiekvienas langelis atitiko vis didesnę reikšmę: vienetus, dešimtis, šimtus ir taip toliau.
Tokia sistema turi vieną pavojų – kaip atskirti, kur baigiasi vienas skaitmuo ir prasideda kitas? Kinų matematikai rado elegantišką sprendimą: gretimose skiltyse jie kaitaliojo lazdelių kryptį. Vienetų, šimtų ir dešimttūkstančių skiltyse lazdelės būdavo dėliojamos vertikaliai, o dešimčių ir tūkstančių – horizontaliai. Taigi, vienetai stovi, dešimtys guli. Taip iš pirmo žvilgsnio būdavo aišku, kuriai skilčiai priklauso kiekvienas ženklas.
| Skaičius | Kinų rašmuo | Lazdelių skaitmuo |
|---|---|---|
| 1 | 一 | 𝍩 |
| 2 | 二 | 𝍪 |
| 3 | 三 | 𝍫 |
| 4 | 四 | 𝍬 |
| 5 | 五 | 𝍭 |
| 6 | 六 | 𝍮 |
| 7 | 七 | 𝍯 |
| 8 | 八 | 𝍰 |
| 9 | 九 | 𝍱 |
O kaip atskirti, kuris skaičius teigiamas, o kuris – neigiamas? Tam senovės kiniečiai pasitelkė spalvas: teigiamus skaičius vaizdavo raudonos, o neigiamus – juodos lazdelės. Tai vienas ankstyviausių neigiamų skaičių naudojimo pavyzdžių, daugiau nei tūkstančiu metų aplenkęs Europą.
Babilono skaičiai
Kalbos apie senovės civilizacijų indėlį į matematiką neįsivaizduojamos be babiloniečių. Ši Mesopotamijos civilizacija paliko vienus ankstyviausių ir svarbiausių matematikos istorijos pėdsakų. Dalimi šių keturių tūkstančių metų senumo idėjų remiamės iki šių dienų.
Pirmiausia, iš Mesopotamijos gyventojų matematikos perėmėme šešiasdešimtainę padėtinę skaičių sistemą. Vienetams žymėti babiloniečiai naudojo vertikalų pleištą, o dešimtims – kampinį. Derindami tik šiuos du simbolius, jie užrašydavo bet kurį skaičių nuo 1 iki 59. Dėl padėtinio sistemos principo tais pačiais ženklais jie gebėjo sudaryti ir milžiniškus skaičius, ir tikslias trupmenas.
Toks 60 pagrindo pasirinkimas nebuvo atsitiktinis: šis skaičius dalijasi iš neįprastai daug kitų (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), todėl dalyba ir trupmenos babiloniečiams sekėsi kur kas lengviau nei mums su dešimtaine sistema.
Vis dėlto ši sistema ilgai turėjo vieną silpnąją vietą – nulį. Iš pradžių jo visai nebuvo, todėl tuščią skiltį tekdavo nuspėti iš konteksto: tie patys ženklai galėjo reikšti ir 23, ir 23, padaugintus iš 60. Vėliau babiloniečiai pradėjo naudoti specialų skyriklį trūkstamai vietai pažymėti. Tai buvo itin svarbus žingsnis padėtinio skaičiavimo link. Visgi tai dar nebuvo tikrasis nulis: savarankiško skaičiaus ir atskiros reikšmės samprata subrendo daug vėliau, Indijoje.
| Dešimtainis skaičius | Ženklo aprašymas | Šešiasdešimtainė reikšmė |
|---|---|---|
| 1 | 1 vertikalus pleištas (𒁹) | 1 |
| 2 | 2 vertikalūs pleištai | 2 |
| 3 | 3 vertikalūs pleištai | 3 |
| 4 | 4 vertikalūs pleištai | 4 |
| 5 | 5 vertikalūs pleištai | 5 |
| 6 | 6 vertikalūs pleištai | 6 |
| 7 | 7 vertikalūs pleištai | 7 |
| 8 | 8 vertikalūs pleištai | 8 |
| 9 | 9 vertikalūs pleištai | 9 |
| 10 | 1 kampinis pleištas (𒌋) | 10 |
Savo skaičių sistemą babiloniečiai taikė astronomijoje, inžinerijoje ir prekyboje. Jie stebėjo dangų, sekė planetų judėjimą ir mokėjo numatyti dangaus reiškinius. Šie skaičiavimai vėliau darė įtaką graikų bei kitų tautų mokslui.
Ryškiausias jų palikimas yra šešiasdešimtainė sistema, kurią iki šiol naudojame matuodami laiką (60 sekundžių, 60 minučių) ir kampus (360 laipsnių). Molinėse lentelėse atrandama ir daugiau stebuklų. Jose užfiksuotas kvadratinės šaknies iš dviejų apskaičiavimas, atliktas dar prieš tris tūkstančius metų. Babiloniečių gauta reikšmė tokia tiksli, kad sutampa su dabartine beveik iki šešių skaitmenų po kablelio. Ištiesįspūdingas tikslumas civilizacijai, gyvenusiai gerokai prieš mūsų erą.
Senovės Graikijos skaičiai
Graikų indėlį į pasaulio mokslą lengviausia pastebėti atvertus bet kurį matematikos vadovėlį. Senovės Graikijos matematikasujungė praktinį skaičiavimą su teoriniu mąstymu ir iš esmės pakeitė tai, kaip šiandien suvokiame bei naudojame matematiką.
Iš pradžių (maždaug nuo VII–VI a. pr. Kr.) graikų matematikai rėmėsi Atikos sistema. Joje daugumą skaičių žymėjo pirmoji atitinkamo žodžio raidė, labai panašiai kaip ir vėliau atsiradusiuose romėniškuose skaitmenyse. Vėliau, apie V a. pr. Kr., ją pakeitė patogesnė Jonijos (alfabetinė) sistema. Šioje sistemoje skaičius nuo 1 iki 900 išreikšdavo 24 graikų abėcėlės raidės bei trys papildomi archajiški ženklai.
Kadangi didelius skaičius užrašyti ir jais skaičiuoti buvo gana nepatogu, graikų matematikai pagrindinį dėmesį skyrė geometrijai – būtent čia jie pasiekė įspūdingiausių aukštumų.
Vis dėlto svarbiausias graikų proveržis buvo ne nauja skaitmenų rašyba, o novatoriškas požiūris į patį matematikos mokslą. Jei kitoms civilizacijoms matematika pirmiausia buvo praktiškas prekybos ar statybų įrankis, graikai ją pavertė būdu pažinti visatą. Pasitelkę dedukcinį samprotavimą, jie pradėjo reikalauti griežtų įrodymų. Užuot tiesiog taikę veikiančią taisyklę, mąstytojai iškėlė klausimą, kodėl ji teisinga, ir atsakymą grįsdavo gryna logika.
| Reikšmė | Graikų ženklas | Raidės pavadinimas |
|---|---|---|
| 1 | Α | alfa |
| 2 | Β | beta |
| 3 | Γ | gama |
| 4 | Δ | delta |
| 5 | Ε | epsilon |
| 6 | Ϛ arba ϝ | stigma / digama |
| 7 | Ζ | dzeta |
| 8 | Η | eta |
| 9 | Θ | teta |
| 10 | Ι | jota |
| 20 | Κ | kapa |
| 30 | Λ | lambda |
| 40 | Μ | mi |
| 50 | Ν | ni |
| 60 | Ξ | ksi |
| 70 | Ο | omikron |
| 80 | Π | pi |
| 90 | Ϟ | kopa |
| 100 | Ρ | ro |
| 200 | Σ | sigma |
| 300 | Τ | tau |
| 400 | Υ | ipsilon |
| 500 | Φ | fi |
| 600 | Χ | chi |
| 700 | Ψ | psi |
| 800 | Ω | omega |
| 900 | ϡ | sampi |
| 1000+ | ͵ (priešdėlinis ženklas) | Tūkstančių žymuo (͵Α = 1000) |
Turbūt ryškiausiai tai atskleidžia Pitagoro mokykla. Tyrinėdami kaip skamba įtemptos stygos, pitagorininkai pastebėjo, kad darniausiai skambantys muzikos intervalai atitinka paprastus skaičių santykius: oktava atitinka 2:1, kvinta atitinka 3:2, o kvarta – 4:3. Iš čia gimė mintis, jog visą pasaulį galima aprašyti skaičiais ir jų santykiais.
Greta Pitagoro stovi ir kiti graikų milžinai. Euklidas, parašęs veikalą „Pradmenys“, sukūrė vieną įtakingiausių vadovėlių istorijoje. Iš jo geometrijos buvo mokomasi beveik du tūkstančius metų. Archimedas praplėtė geometrijos bei mechanikos ribas ir skaičiuodamas įrodė, kad skaičius π yra šiek tiek didesnis už 3 ir pasiūlė garsųjį jo įvertį 22/7.
Graikų palikimas gyvas ne tik teorijose. Jų abėcėlės raides, tokias kaip π ir θ, iki šių dienų naudojame šiuolaikinėje matematikoje bei fizikoje. Nuo Talio ir Pitagoro iki Platono bei Aristotelio driekiasi turtinga mąstytojų tradicija, padovanojusi pasauliui matematinį įrodymą
Senovės civilizacijų matematinis palikimas
Šios istorinės apžvalgos leidžia kur kas geriau suvokti, kokius tvirtus pamatus šiuolaikinei matematikai padėjo senovės civilizacijos. Jų atradimai skaičiavimo, aritmetikos ir abstraktaus mąstymo srityse atrodo įspūdingi net pagal šiandienos standartus, o įvertinus, kad mus skiria tūkstantmečiai, jie stebina dar labiau.
Grįžkime ir prie anksčiau iškelto klausimo – tai kodėl gi dauguma kultūrų skaičiavo būtent dešimtimis?
Istorikai mano, kad dešimtainė sistema rėmėsi dešimties pagrindu todėl, kad taip patogiausia skaičiuoti pirštais. Ne veltui daugelis vaikų ir šiandien pirmuosius skaičius mokosi lenkdami pirštus.
Babiloniečių 60 greičiausiai irgi kilo iš pirštų: nykščiu skaičiuojant keturių pirštų narelius, viena ranka suskaičiuojama iki 12, o abiem – iki 60.
Ankstyvosios skaičių sistemos ir matematinės idėjos atspindi bendrą žmonijos siekį suprasti, išmatuoti ir sutvarkyti pasaulį. Egiptiečių sudėtinė logika, kinų pozicinės lazdelės, babiloniečių šešiasdešimtainė sistema ir graikų įrodymo menas tai puikiai atspindi. Įstabu, kad matematinės sistemos, įrankiai ir metodai, kuriuos naudojame kasdien, remiasi šiais senovės pasiekimais.
Apibendrinti naudojant DI:
Ar jums patiko straipsnis? Įvertinkite jį!
Loading...
