Matematika buvo neatsiejama Mesopotamijos raštininkų kultūros dalis: raštas ketvirtojo tūkstantmečio pr. Kr. pabaigoje ir buvo sukurtas būtent tam, kad būtų galima užrašyti skaičius
Eleanor Robson, knygoje Mesopotamian Mathematics, 2100–1600 BC (1999)
Ar kada susimąstėte, kad kas kartą tikrindami laiką ar matuodami kampą naudojamės skaičiavimo būdu, kuriam yra beveik keturi tūkstančiai metų? Šiandien mums įprasta valandą dalyti į 60 minučių, minutę – į 60 sekundžių, o apskritimą – į 360 laipsnių. Visa tai yra senovės Mesopotamijos matematikų palikimas.
Šumerai ir babiloniečiai sukūrė šešiasdešimtainę skaičiavimo sistemą ir sprendė uždavinius, kuriuos šiandien būtų galima dėstyti net vidurinėje mokykloje. Nors skaičiavimo nuopelnus neretai priskiriame senovės graikų mąstytojams, iš tiesų Mesopotamijos gyventojai sudėtingą matematiką naudojo gerokai anksčiau. Tai buvo viena originaliausių senovės skaičių sistemų ir viena iš nedaugelio, nesirėmusių dešimtimi.
Suprasti, kaip skaičiavo babiloniečiai, verta ne vien dėl istorinio smalsumo. Pažvelgę į jų sistemą, galime geriau suprasti ir savąją. Pavyzdžiui, ar žinote, kodėl skaitmens vieta skaičiuje tokia svarbi ir kodėl nulis matematikoje atsirado taip vėlai?
Kviečiame pasinerti į įdomiąją matematikos istoriją ir iš arčiau susipažinti su šiuo Mesopotamijos palikimu!
Trumpa Babilono civilizacijos istorija
Mesopotamija yra istorinis regionas, apėmęs dalį dabartinės Turkijos, Sirijos, Irako, Irano ir Kuveito. Šis kraštas driekėsi palei Tigro ir Eufrato upes, kurių potvyniai paversdavo lygumas derlinga žeme, todėl jis priskiriamas vadinamajam Derlingajam pusmėnuliu – pjautuvo formos vaisingų žemių lankui. Mesopotamijoje iškilo vieni pirmųjų pasaulio miestų, tarp jų ir Babilonas, stūksojęs dabartinio Irako teritorijoje, šiek tiek į pietus nuo Bagdado.
Mesopotamija ir Egiptas yra laikomi matematikos lopšiu. Rašto ir pirmųjų miestų kultūra šiame regione susiformavo maždaug 3400-3100 m. pr. Kr., o kartu atsirado ir poreikis skaičiuoti: vesti derliaus, prekių bei mokesčių apskaitą. Būtent iš šių kasdienių reikmių pamažu išaugo ir sudėtingesnė matematika.
Per beveik tris tūkstančius metų vienas kartas keitė kitos, o sukauptos žinios paprastai būdavo perimamos ir plėtojamos toliau. Pats Babilono miestas iškilo maždaug 1894 m. pr. Kr., o didžiausią klestėjimą pasiekė valdant Hamurabiui (apie 1792–1750 m. pr. Kr.). Nepriklausomos Babilonijos istorija baigėsi 539 m. pr. Kr., kai miestą užėmė persų valdovas Kyras Didysis.
Regiono gyventojus įprasta apibendrintai vadinti babiloniečiais, nors iš tiesų čia gyvavo kelios skirtingos tautos, iš kurių geriausiai žinomos yra šumerai ir akadai. Didžiąją dalį savo žinių jie įamžino molinėse lentelėse. Nemažai jų išliko iki mūsų dienų, todėl šiandien galime susidaryti gana detalų vaizdą, kokius uždavinius šie žmonės sprendė kasdienybėje.
Šumerai
Seniausi Mesopotamijos gyventojai ir vienos pirmųjų pasaulio civilizacijų kūrėjai, gyvenę pietinėje krašto dalyje maždaug 4000-2000 m. pr. Kr. Šumerai žinomi kaip pirmojo pasaulio rašto (dantiraščio) išradėjai.
Akadai
Semitų tauta, apie 2334 m. pr. Kr. valdant Sargonui suvienijusi regioną į pirmąją imperiją. Jie perėmė šumerų raštą pritaikydami jį savo kalbai, kuri ilgainiui tapo pagrindine viso regiono diplomatijos ir prekybos kalba.
Babiloniečiai
Babiloniečiai iškilo vėliau, apie 1894 m. pr. Kr., sustiprėjus Babilono miestui, valdant Hamurabiui. Jie perėmė šumerų ir akadų žinių žinias ir toliau jas plėtojo.
Daugelis dalykų, kuriuos babiloniečiai laikė sudėtinga matematika, šiandien mums pasirodytų kaip gana paprasti skaičiavimai. Ir vis dėlto šiose molinėse lentelėse atrandama ir stebinančių pasiekimų, pavyzdžiui, kvadratinių bei kubinių lygčių sprendinių ar net Pitagoro teoremą primenančių skaičiavimų. Pažvelkime į jų skaičius ir užrašymo būdą iš arčiau.
Padėtinė skaičių sistema
Kad suprastume babiloniečių skaičiavimą, pirmiausia verta prisiminti savąjį. Šiandien naudojamės padėtine (arba pozicine) skaičiavimo sistema.
Nors savo skaičiavimo sistemoje turime vos dešimt skaitmenų (nuo 0 iki 9), keisdami jų vietą tais pačiais simboliais galime užrašyti bet kokio dydžio skaičius. Kiekvieno skaitmens reikšmę lemia pozicija, kurioje jį įrašome:
| Simbolis | Pozicija | Reikšmė |
|---|---|---|
| 2 | Vienetų vieta | Turime 2 vienetus (2 x 1) |
| 20 | Dešimčių vieta | Turime 2 dešimtis (2 x 10) |
| 200 | Šimtų vieta | Turime 2 šimtus (2 x 100) |
| 2000 | Tūkstančių vieta | Turime 2 tūkstančius (2 x 1000) |
Kaip galima matyti lentelėje, nuo dvejeto padėties priklauso, ar turime 2, 20, ar 200. Šis principas ir yra padėtinė sistema - negalime parašyti, pavydžiui, 020 ir tikėtis, kad kiti skaičių supras kaip 200.
Babiloniečiai skaičių užrašymo iš karto negrindė poziciniu principu. Ankstyvuosiuose šumerų skaičiuose, naudotuose maždaug nuo 3500 m. pr. Kr., kiekvienas ženklas turėjo pastovią reikšmę, o galutinę sumą gaudavo tiesiog sudedantvisus simbolius. Ženklų tvarka čia nebuvo svarbi, nes sudėties rezultatas nekito nepriklausomai nuo jų pozicijos. Be to, šumerai neturėjo ir atskiro ženklo nuliui.
Ilgainiui toks skaičiavimo būdas tapo nepatogus: didesniems skaičiams užrašyti reikėdavo vis daugiau kartotinių ženklų, o ir skaičiuoti taip buvo sudėtinga. Todėl babiloniečiai sistemą pertvarkė ir perėjo prie padėtinio skaičiavimo. Tik vietoj mums įprastos dešimties jie pasirinko kitą pagrindą – šešiasdešimt. Tuo pačiu pozicinio skaičiavimo keliu, tik likę prie dešimtainės bazės, pasuko ir senovės Kinijos matematika: lazdelių sistemoje skaitmens reikšmę irgi lėmė padėtis.
Tai skaičiavimo sistema, kurios pagrindas yra 60. Nors kasdieniams skaičiavimams jos nenaudojame, su ja iš tiesų susiduriame kasdien, skaičiuodami laiką (60 sekundžių minutėje, 60 minučių valandoje) ir matuodami kampus (360 laipsnių apskritime).
Naudojant šešiasdešimtainę sistemą, babiloniečiai turėjo ženklus visiems skaičiams nuo 1 iki 59 užrašyti. Vienetą žymėjo vertikalus pleištas, o dešimtį – kampinis. Čia padėtis jau turejo didelę reikšmę. Pavyzdžiui, vienetas kairiojoje (šešiasdešimčių) pozicijoje ir keturiasdešimt dešiniojoje (vienetų) pozicijoje reiškė:
Skaičius 60 kaip pagrindas pasirinktas neatsitiktinai. Jis turi daug daliklių, todėl skaičiuoti trupmenas kur kas paprasčiau. Pakanka palyginti dešimties ir šešiasdešimties daliklius:
| Pagrindas | Dalikliai |
|---|---|
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 |
| 10 | 1, 2, 5, 10 |
Kadangi 60 dalijasi iš dvylikos skirtingų skaičių, o 10 – vos iš keturių, trečdalį, ketvirtadalį ar penktadalį babiloniečiai užrašydavo be didesnio vargo.
Vis dėlto vienas dalykas šioje sistemoje ilgai liko neišspręstas – nulis. Ankstyvieji babiloniečiai jo neturėjo, todėl tuščią poziciją tekdavo atspėti iš konteksto. Tik gerokai vėliau atsirado skyriklis tuščiai vietai pažymėti. Tai buvo savotiškas nulio pirmtakas, nors tikru skaičiumi jis tapo dar tik po kurio laiko.
Matematika ant molinių lentelių
Skirtingai nei egiptiečių matematika, apie kurią išliko vos keli šaltiniai, babiloniečiai paliko didžiulį archyvą. Taip yra todėl, kad egiptiečiai rašė ant greitai nykstančio papiruso, o Mesopotamijos gyventojai – ant ilgaamžiškesnio molio.
Skaičiai ir teksto ženklai būdavo įspaudžiami į dar drėgną molį, o paskui lentelės išdžiovinamos saulėje arba išdegamos gaisruose ir krosnyse. Iki mūsų dienų išliko šimtai matematinio turinio molinių lentelių. Daugelis jų priklauso senosios Babilonijos laikotarpiui (maždaug 1830-1531 m. pr. Kr.).
Rašto sistema, kuria naudojosi šie žmonės, vadinama dantiraščiu. Jo ženklai primena mažus pleištus, o pats dantiraštis kartu su egiptiečių hieroglifais laikomas viena seniausių rašto sistemų pasaulyje. Pleišto pavidalo ženklai atsirado dėl labai praktiškos priežasties. Rašant ant drėgno molio nendriniu stulpeliu, braukti tolygias lenktas linijas buvo nepatogu – molis stumdydavosi ir raštas tepdavosi. Todėl raštininkai tiesiog spausdavo nendrės kampą į molio paviršių. Kiekvienas toks įspaudas palikdavo siaurėjantį, pleištelį primenantį pėdsaką, iš kurių buvo dėliojami skaitmenys bei žodžiai.
Apskritimų plotui skaičiuoti babiloniečiai dažniausiai naudojo apytikslę π reikšmę – 3. Daugumai to meto statybų ir matavimų to visiškai pakako. Vis dėlto viena molinė lentelė, rasta netoli Sūzų (dabartinis pietvakarių Iranas) ir datuojama senosios Babilonijos laikotarpiu, rodo, kad kai kurie raštininkai naudojo tikslesnę reikšmę – 25/8, arba 3,125, kuri tikrosios π vertės skiriasi vos apie pusę procento. Tai leidžia manyti, kad babiloniečiai suvokė, jog „3" tėra apytikslis dydis, ir prireikus mokėjo skaičiuoti tiksliau.
Šiose molinėse lentelėse užrašytos įvairios matematikos temos: trupmenos, kvadratinės bei kubinės lygtis ir Pitagoro teoremą primenantys uždaviniai.
Babiloniečių kvadratų lentelės
Šiandien kvadratus dažnai apskaičiuojame be vargo, o daugelį jų dar mokykloje esame iškalę atmintinai. Senovėje viskas buvo kitaip. Kadangi babiloniečiai rėmėsi šešiasdešimtaine sistema ir nenaudojo kablelio trupmenoms atskirti, net ir tokie veiksmai, kurie mums atrodo elementarūs, reikalaudavo gudresnio sprendimo.
Kvadratų lentelės jiems atstojo tam tikrą skaičiuotuvą. Tai buvo paruošti sąrašai, padedantys išvengti ilgų skaičiavimų atmintyje ir greičiau atlikti sudėtingesnes operacijas, pavyzdžiui, dviejų skaičių daugybą. Šios lentelės buvo neatsiejama raštininkų mokyklų dalis. Tokios lentelės buvo neatsiejama raštininkų mokyklų dalis. Panašiai kaip šiandien mokomės daugybos lentelės, būsimieji raštininkai valandų valandas kopijuodavo ir kalė daugybos bei atvirkštinių dydžių sąrašus. Nemaža dalis išlikusių molinių lentelių yra būtent šių pratybų pėdsakai.
Viena garsiausių tokių lentelių yra nedidelė apvali plytelė, žymima kodu YBC 7289. Manoma, kad tai mokinio pratybų darbas. Jame nubraižytas kvadratas su įstrižainėmis ir užrašyta šešiasdešimtainė kvadratinės šaknies iš dviejų reikšmė.
Ji apytiksliai lygi 1,41421 ir teisinga maždaug iki šešių skaitmenų po kablelio. Tai tiksliausias skaičiavimas, žinomas iš viso senovės pasaulio.
Įdomu tai, kad pats mokinys šios reikšmės greičiausiai neskaičiavo, o nusirašė iš jau turėtų lentelių. Tai leidžia manyti, kad Mesopotamijos raštininkai šaknį iš dviejų tokiu tikslumu žinojo jau prieš beveik keturis tūkstančius metų
Kad šios molinės lentelės iš tiesų yra skaičių kvadratų sąrašai, XIX a. antroje pusėje atskleidė vokiečių egiptologas Richardas Lepsius, o jo atradimą netrukus patvirtino ir kiti asiriologai – George Rawlinson bei George Smith. Šie radiniai leido visai kitaip pažvelgti į Mesopotamijos gyventojų skaičiavimo meistrystę.
Pitagoro trejetai
Statųjį trikampį, kurio kraštinės susijusios garsiąja Pitagoro teorema, atrado ne tik senovės graikai ar egiptiečiai. Panašius dėsningumus žinojo ir babiloniečiai. Išliko molinių lentelių, kuriose surašyti vadinamieji Pitagoro trejetai – sveikųjų skaičių rinkiniai, tenkinantys stataus trikampio sąlygą.
Garsiausia tokia lentelė vadinama Plimpton 322, datuojama maždaug 1800 m. pr. Kr. Joje surašyta penkiolika trejetų eilučių. Kai 1945 m. matematikas Otto Neugebaueris ir asiriologas Abrahamas Sachsas paskelbė šios lentelės analizę, paaiškėjo, kad babiloniečiai šiuos skaičius žinojo daugiau nei tūkstančiu metų anksčiau, nei gimė pats Pitagoras.
Dar įdomesnę istoriją pasakoja lentelė, pažymėta Si.427. 2021 m. ją išnagrinėjęs matematikas Danielis Mansfieldas nustatė, kad tai seniausias žinomas praktinės geometrijos pavyzdys. Lentelėje užfiksuotas žemės sklypo planas: naudodamas Pitagoro trejetus, matininkas išvedžiojo tikslius statmenus kampus, kad aiškiai nubrėžtų sklypo ribas. Manoma, kad šis sklypo plano aprašymo priežastis yra ginčas dėl vertingų datulių palmių pasienyje tarp dviejų kaimynų.
Bene įdomiausia babiloniečių palikime tai, kad jų matematika gimė ne iš abstrakčių teorijų, o iš kasdienių poreikių ir praktiškų klausimų: kaip pasidalyti žemę, pastatyti šventyklą ar išmatuoti laiką. Iš tokių praktinių klausimų išaugo idėjos, kurias po tūkstančio metų iš naujo atrado senovės graikai, o mes naudojame ir šiandien.
Apibendrinti naudojant DI:
Ar jums patiko straipsnis? Įvertinkite jį!
Loading...
