Senovės Graikija dažnai vadinama Vakarų civilizacijos lopšiu. Iš čia kilusios idėjos formavo filosofiją, mokslą ir meną, o jų atgarsius juntame iki šiol. Per mokyklos metus tikriausiai ne kartą girdėjote apie graikų dovanotus išradimus.
Matematikos srityje graikai iš pirmo žvilgsnio gali nepasirodyti itin novatoriški. Sudėtingos skaičiavimo sistemos egzistavo dar gerokai iki jų – jomis naudojosi šumerai ir kitos ankstyvosios civilizacijos. Vis dėlto graikų indėlis toli gražu nebuvo vien svetimų idėjų perėmimas. Graikų matematikai sugebėjo paimtas sąvokas paversti kai kuo išties nepaprastu. Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip atrodė senovės Graikijos matematika, kas ją kūrė ir kodėl jos pagrindais remiamės dar ir šiandien.
Iš kur kilo senovės Graikijos matematika
Sakoma, kad stipriausi medžiai turi giliausias šaknis. Tą patį galima pasakyti ir apie graikų matematikus, kurie rėmėsi ankstesnių civilizacijų pasiekimais, ypač babiloniečių ir egiptiečių matematikos. Šios visuomenės jau buvo sukūrusios pažangias skaičiavimo sistemas įvairiems praktiniams poreikiams patenkinti, o vėliau jos tapo pamatu, ant kurio graikų mąstytojai statė savo teorinį požiūrį.
Kaip šios žinios apskritai pasiekė graikus? Didelę reikšmę čia turėjo prekyba. Graikai turėjo vienus stipriausių prekybos tinklų rytinėje Viduržemio jūros dalyje, ir kartu su prekėmis į Graikiją keliavo matematinės idėjos.
Tokia aplinka skatino domėtis matematika ne vien dėl kasdienių poreikių. Tarp graikų pamažu formavosi suvokimas, kad matematinius teiginius galima įrodyti remiantis logika. Taip įvyko esminis lūžis ir nuo praktinių skaičiavimų mąstytojai perėjo prie teorinės matematikos ir dedukcinio mąstymo.
Matematikai, kurios principus naudojame iki šiol, pamatus padėjo tokie Antikos matematikai kaip Talis, Pitagoras, Euklidas, Eratostenas, Hiparchas ir Archimedas
Šis pokytis, kai graikų mąstytojai ėmė laikyti matematiką intelektualine veikla, prasidėjo maždaug VI amžiuje prieš mūsų erą. Graikai vieni pirmųjų iškėlė griežtumo ir tikslumo reikalavimus: bet kurias teoremas ar taisykles jie siekė pagrįsti logiškais samprotavimais, atsispirdami nuo pagrindinių aksiomų.
Čia natūraliai kyla klausimas: kaip viena civilizacija sugebėjo taip toli pažengti ir kodėl tai pavyko būtent graikams? Atsakymas slypi klestinčioje visuomenėje. Viršutinis jos sluoksnis galėjo nesirūpinti kasdieniais pragyvenimo rūpesčiais, tad turėjo pakanakamai laiko, kurį skyrė filosofijai bei mokslui. Ši prabanga leido matematikai iš praktinio amato išaugti į teorinę discipliną, o tuo pačiu formavo supratimą apie šį mokslą.
Senovės graikų skaičių ženklai
Senovės graikai naudojo dvi skaičių sistemas: Atikos ir Jonijos.
Atikos sistema buvo senesnė ir savo principu priminė romėniškus skaitmenis. Skaičių reikšmės čia buvo sudedamos, o patys ženklai kilo iš atitinkamų skaičių pavadinimų pirmųjų raidžių.
Vėliau ją pakeitė patogesnė Jonijos sistema, pagrįsta graikų abėcėle. Šioje sistemoje skaitinės reikšmės buvo priskirtos 24 abėcėlės raidėms ir dar trims senosioms, jau nebevartojamoms raidėms: skaičių 6 žymėjo digama (ϝ; Bizantijos laikais pakeista stigma ϛ), 90 – kopa (ϟ), o 900 – sampi (ϡ).
Kad skaičiai nesusipainiotų su įprastais žodžiais, šalia raidės buvo dedamas specialus brūkšnelis – kerėja (ʹ). Pavyzdžiui, αʹ reiškė 1, o ρʹ – 100.
Nors lyginant su šiandiene dešimtaine sistema ši turėjo nemažai trūkumų, savo laikais ji buvo itin pažangi. Jonijos sistema puikiai tiko prekybai, astronomijai bei matematikai, ypač kai graikai ją pritaikė greta savo geometrijos ir proporcijų žinių.
Įdomu tai, kad nors graikų skaičių sistema susiformavo savarankiškai, joje juntama ir babiloniečių matematikos atgarsių. Babiloniečiai itin anksti sukūrė pozicinę (padėtinę) skaičiavimo sistemą ir šešiasdešimtainę skaičiavimo bazę. Būtent iš jų graikų astronomai perėmė šešiasdešimtainius skaičiavimus, kuriuos taikė dangaus kūnų stebėjimams.
Kaip iškilo graikų matematikai
Graikų matematika vystėsi dėka novatoriškų mąstytojų, kurie paprastus skaičiavimus pavertė teoriniu tyrinėjimu. Vienas pirmųjų išgarsėjo Talis Miletietis, kuriam šlovę pelnė praktinių uždavinių sprendimas.
Pasakojama, kad Talis matematiką taikė kasdieniams uždaviniams, pavyzdžiui, apskaičiuodavo piramidžių aukštį ar atstumą iki jūroje esančių laivų.
Taliui taip pat priskiriamas nuopelnas už dedukcinio samprotavimo pritaikymą geometrijoje, dėl kurio jis neretai vadinamas pirmuoju tikru Vakarų matematiku.
Be to, būtent jam esame dėkingi už daugelį teoremų apie apskritimus, trikampius ir susikertančias tieses, kurias tebemokomės matematikos pamokose ir šiandien.
Didžioji dalis ankstesnių civilizacijų matematikos daugiausia buvo praktiška ir paremta konkrečiais skaičiavimo algoritmais. Graikai savo ruožtu daugiau dėmesio skyrė abstrakčiam mąstymui ir formaliems įrodymams. Puikus to pavyzdys yra Pitagoro iš Samo darbai. Nors jo vardą geriausiai žinome iš garsiosios jo vardu pavadintos teoremos, Pitagoro įtaka iš tiesų peržengia trigonometrijos ribas. Jis skaičiais aiškino pasaulio darną ir plėtojo idėją, kad pasaulis veikia pagal matematinius dėsnius.
Vienas Pitagoro mokinių, Hipasas iš Metaponto, žengė dar vieną žingsnį į priekį. Tyrinėdamas geometrinius santykius, jis susidūrė su dydžiais, kurių neįmanoma išreikšti sveikųjų skaičių trupmena. Šiandien juos vadiname iracionaliaisiais skaičiais.
Žodis „matematika" yra kilęs iš graikų kalbos žodžio máthēma (μάθημα), reiškiančio „tai, kas išmokstama", arba „žinojimas". Įdomu, kad viena pitagorininkų mokyklos kryptis buvo vadinama mathēmatikoi – anuomet tai reiškė ne „matematikus", o tiesiog „besimokančiuosius".
Šis atradimas tradiciškai priskiriamas būtent Hipasui, nors istorikai jį dažniau sieja su visa pitagorininkų mokykla: V amžiuje prieš mūsų erą jie įrodė, kad kvadrato kraštinė ir įstrižainė neturi bendro mato – jų santykio neįmanoma išreikšti tiksliu skaičiumi. Tai buvo revoliucinis įrodymas, parodęs, kad vien paprastų (racionaliųjų) skaičių geometriniams dydžiams matuoti nepakanka.
Matematika ir graikų filosofija
Senovės Graikijoje matematika tapo neatsiejama filosofijos dalimi. Šis posūkis iš esmės pakeitė tai, kaip žmonės mąstė apie tikrovę, tiesą ir patį pažinimo procesą.
Platonas: geometrija kaip tiesa
Platono vardą girdėjęs bene kiekvienas. Tai, kad jis iki šiol taip plačiai žinomas, liudija jo darbų svarbą. Platonui geometrija reiškė kur kas daugiau nei praktinę discipliną. Jis laikė ją aukščiausia tiesos ir grožio forma.
Pasak legendos, virš jo įkurtos Akademijos įėjimo puikavosi užrašas:
Teneįžengia tas, kuris neišmano geometrijos
Istorikai abejoja, ar toks užrašas iš tiesų egzistavo, tačiau jis gerai perteikia Platono požiūrį.
Platonas geometriją apibūdino kaip pažinimą to, kas egzistuoja amžinai, teigdamas, kad ji kreipia sielą link tiesos ir skatina filosofinį mąstymą. Vargu ar tai pirmoji mintis, kylanti atvertus geometrijos vadovėlį prieš egzaminą. Vis dėlto kitą kartą spręsdami geometrijos uždavinį prisiminkite: pasak Platono, jūs ne tik mokotės skaičiuoti – jūs prisiliečiate prie amžinų tiesų.
Platonas manė, kad matematika kalba apie abstrakčius, laikui nepavaldžius dalykus, egzistuojančius nepriklausomai nuo žmogaus suvokimo.
Anot Platono, skaičiai ir figūros turi savarankišką tikrovę, o matematinės tiesos yra ne sukuriamos, o atrandamos. Toks požiūris vadinamas matematiniu platonizmu. Platonas matematines figūras taip pat siejo su visatos stichijomis, taip pabrėždamas glaudų ryšį tarp matematikos ir fizinio pasaulio.
Aristotelis: logika kaip matematikos pamatas
Kitas matematikos milžinas, kurį verta prisiminti kalbant apie graikų matematiką, yra Aristotelis. Nors labiau žinomas kaip filosofas, jis reikšmingai prisidėjo ir prie matematikos raidos. Aristotelis mąstė kitaip nei jo mokytojas Platonas. Skirtingai nei kiti šiame straipsnyje minimi matematikai, jis nesukūrė savų teoremų. Jo indėlis kitoks – jis matematiką apibrėžė kaip savarankišką, formalų mokslą, atskirą nuo fizikos ar metafizikos.
Panašiai savitą kelią nuėjo ir kitos senosios kultūros, pavyzdžiui, kinų skaičių sistemos, kurių logika gerokai skyrėsi nuo graikiškosios.
Dedukcinį samprotavimą matematikai geometrijoje taikė dar iki Aristotelio (prisiminkime kad ir Talį bei pitagorininkus). Vis dėlto būtent Aristotelis pirmasis sukūrė formalią logikos sistemą. Savo veikaluose, vėliau pavadintuose „Organonu“, jis aprašė silogizmą ir parodė, kad išvados teisingumas priklauso ne nuo turinio, o nuo argumento sandaros.
Taip Aristotelis matematikai davė loginį pagrindą, ant kurio vėliau buvo statomi formalūs įrodymai.
Nors matematikos pamokose įrodymai retam kuriam yra mėgstamas dalykas, visgi tai buvo itin svarbus posūkis matematikos moksle. Aristotelio įtaka buvo labiau filosofinė nei skaičiavimo srities, bet ji padėjo matematiką suvokti kaip griežtą, pamatinę discipliną.
Senovės graikų pėdsakas šiuolaikinėje matematikoje
Kaip matote, senovės Graikijos įtaką matematikai nesunku įvertinti, kai atsigręžiame atgal ir sujungiame visas dėlionės dalis. Šios civilizacijos palikimas yra vienas didžiausių žmonijos intelektinių pasiekimų. Graikų mąstytojai perėmė ankstesnių civilizacijų skaičių sistemų praktinius matematikos pagrindus ir pavertė juos visai kitokia mokslo disciplina.
Vienas iš puikių to pavyzdžių yra Eratostenas. III amžiuje prieš mūsų erą jis, pasitelkęs saulės šešėlius ir geometriją, apskaičiavo Žemės apimtį stebėtinai tiksliai. Tikslaus rezultato paklaidos nustatyti sunku, nes jo naudoto matavimo vieneto (stadijo) ilgis iki šiol ginčijamas, tačiau skaičius buvo labai artimas tikrajam.
Apie 624–546 m. pr. Kr.
Talis Miletietis
Pirmasis geometrijoje pritaikė dedukcinį samprotavimą.
Apie 570–495 m. pr. Kr.
Pitagoras iš Samo
Skaičius siejo su visatos darna; Pitagoro teorema.
V a. pr. Kr.(tiksli data nežinoma)
Hipasas iš Metaponto
Su juo (ir pitagorininkais) siejamas iracionaliųjų skaičių atradimas.
Apie 428–348 m. pr. Kr.
Platonas
Geometriją laikė aukščiausia tiesos forma; matematinis platonizmas.
384–322 m. pr. Kr.
Aristotelis
Sukūrė formalią logikos sistemą (silogizmą, „Organoną“).
Veikė apie 300 m. pr. Kr.
Euklidas
Veikale „Pradmenys“ susistemino Antikos matematiką.
Apie 287–212 m. pr. Kr.
Archimedas
Išradimai ir moksliniai metodai; geometrijos pažanga.
Apie 276–194 m. pr. Kr.
Eratostenas
Apskaičiavo Žemės apimtį.
Apie 190–120 m. pr. Kr.
Hiparchas
Astronomija; laikomas trigonometrijos pradininku.
Graikų matematikų tikslumas, dėmesys įrodymui, abstrakcijai ir logiškam samprotavimui sukūrė tradiciją, kuria remiasi net šiuolaikinis mokslas. Būtent jiems galime dėkoti už tai, kad matematika iš praktinių skaičiavimų virto teorine disciplina.
Tikimės, kad ši apžvalga leido kitaip pažvelgti į senovės graikų matematiką ir galbūt sužadino norą daugiau sužinoti apie čia minėtus mąstytojus. 🧮
Apibendrinti naudojant DI:
Ar jums patiko straipsnis? Įvertinkite jį!
Loading...
