Paradoksai moksluose nėra ženklas, kad kažkas blogai – tai yra ženklas, kad mes priartėjome prie tikrosios paslapties.
Richard Feynman
Su visais arabiškais skaitmenimis ir neįprastomis raidėmis labai lengva matematikos pamokoje pasijusti svetimam.
Vis dėlto tikriausiai ne kartą teko pavydėti tiems devynerių metų genijams, kurie matematiką mato kaip žaidimą ir gali išvardinti Pi iki n skaitmenų.
Norėdami įsisavinti matematiką, ir mes sekime jų pavyzdžiu: leiskimės į matematikos paradoksų pasaulį, keliaukime tarp aritmetikos, trigonometrijos ir tikimybių teorijos.
Loginiai paradoksai: kas tai?
Jums nereikia aukštojo matematikos laipsnio, kad suprastumėte matematikos esmę. Šis dalykas nėra toks gilus ar sudėtingas kaip filosofija – jo gali išmokti kiekvienas.
Pradžioje matematika gali pasirodyti kiek abstrakti. Išsireiškimas paradoksas reiškia „teiginys, kuris, nepaisant pagrįsto samprotavimo iš priimtinų prielaidų, veda prie išvados, kuri atrodo logiškai nepriimtina arba prieštaringa sau pačiai.“
Vien šio fenomeno studijos yra vertos atskiro dėstomojo dalyko.
Mūsų kasdieniame pasaulyje vis dar yra daugybė paradoksų, kurie nėra išspręsti. Tačiau turime ir gausybę išspręstų paradoksų, kurie gali būti itin naudingi pasaulio suvokimui.
Kai kurie iš jų susiję su fizika ir chemija, tačiau kiti labiau liečia mokslą ir technologijas. Matematinės problemos ir paradoksai nuo seno žavi matematikos fanatikus. Ši tema mokslininkus traukia ne ką mažiau nei Pi tematika.
Klaidingi paradoksai
Achilo ir vėžlio paradoksas
Nors iš pirmo žvilgsnio šis paradoksas gali pasirodyti lengvai paaiškinamas, išspręsti jį matematiškai yra kur kas sunkiau. Jei sugebėtumėte tai padaryti savarankiškai, jūsų pasiekimai būtų verti Tarptautinės matematikos olimpiados.
Šis paradoksas tėra nauja visiems gerai žinomos pasakos apie kiškį ir vėžlį versija. Dar V a. pr. Kr. graikų filosofas Zenonas iš Elejos (490–430 m. pr. Kr.) pasiūlė šį eksperimentą: jei lenktynėse Trojos karo herojus Achilas leistų vėžliui startuoti šiek tiek anksčiau, jis niekada jo nepasivytų. Kad aplenktų vėžlį, Achilas pirmiausia turi jį pasivyti. Tačiau kaskart, kai jis pasiekia tašką, kuriame buvo vėžlys, šis jau būna pasistūmėjęs į priekį. Nesvarbu, kaip greitai Achilas bėgs – vėžlys vis atsiras priekyje, nors ir vis mažesniu atstumu.
Nors ši teorija atrodo itin absurdiška, tuo pačiu ją ir labai sunku paaiškinti. Atsakymas slypi tame, kaip mes suvokiame erdvę, laiką, judėjimą ir begalybę.
Dingusio kvadrato paradoksas
Ne, tai toli gražu nėra dar vienas sudėtingas kiniškas galvosūkis! Tai viso labo didžiausias geometrinis triukas abosurdo prasme.
Paprastai tariant, dingęs kvadratas yra loginė matematinė hipotezė, kuri remiasi optine iliuzija ir veda daugelį į neteisingą išvadą.
Norint sudėlioti trikampį iš įvairių geometrinių formų, jos perdėliojamos siekiant sukurti naują trikampį, kuris būtų tokio paties aukščio ir pločio, tačiau turėtų vieną neįprastą vietą.
O šios mįslės atsakymas yra gana paprastas. Tiesa ta, kad nei pirmasis, nei antrasis trikampiai niekuomet nebuvo tikri trikampiai. Visos formos yra lengvai išlenktos ir sukuria tokią iliuziją.
Nepraktiški paradoksai
Banach-Tarski paradoksas
Grynosios geometrijos teorija buvo pristatyta 1924-aisiais. Tai buvo padaryta remiantis pasirinkimo aksioma, kuri leido konstruoti nematuojamas aibes. Tai galima apibendrinti taip: trimatėje erdvėje R3 sferą galima padalyti į baigtinį skaičių dalių ir šias dalis vėliau pertvarkyti taip, kad gautume dvi identiškas sferas – tokias pat kaip pradinė, skiriamas tik perkėlimo.
Tai mažų mažiausiai keista, tikriausiai su tuo sutiksite. Tiesa, tai įmanoma tik tokiu atveju, jei mažos sferos dalelės yra nepamatuojamos. Ši metodologija vis dar reikalauja tam tikro patikslinimo... Išbandykite ją patys!
Neimanno plokštumos geometrijos teorija
1929-aisiais John von Neumann siutino savo laikmečio mokslininkus.
Naudodamas pasirinkimo aksiomą, jis padalijo kvadratą į baigtinį skaičių taškų „aibių”, o tada, panaudodamas tam tikrus dailinimo darbus, atkūrė ne du rutulius, o… du kvadratus.
Šią problemą toliau tyrinėjo Laczkovichas, 2000 m. paaiškinęs, kaip galima dekonstruoti kvadrato vieneto vidų (vienodo atstumo ribotos aibės).
Įdomu, bet ar tai neprieštarauja sveikam protui?
Šis paradoksas į dienos šviesą iškėlė problemą, kurią Laczkovich 2000-aisiais paaiškino šio kvadratinio vieneto vidaus skaidymą (lygiai nutolę apriboti rinkiniai).
Barzdaskučio paradoksas
Šį paradoksą labiausiai mėgsta vidurinių mokyklų mokytojai, kadangi šis padeda tam tikras temas paaiškinti paprasčiau.
Įsivaizduokite kad egzistuoja taisyklė, kuri sako, kad barzdaskutys privalo skusti tik tuos žmones, kurie nesiskuta patys. Klausimas: ar barzdaskutys skutasi pats?
Jei jis skutasi pats, jis pažeidžia šią taisyklę, kadangi pagal ją turi skusti tik tuos, kurie nesiskuta. Kita vertus, jei jis nesiskuta – jis vis tiek pažeidžia taisyklę, nes neskuta tų, kurie patys nesiskuta.
Tai – puikus būdas parodyti, kaip galima racionaliai įvertinti apie absurdiškas situacijas.
Russell'o antinomija, priklausanti aibių (arba klasių) teorijai, yra kiek kitokia ir priklauso teoriniam laukui: „1905 metais Bertrandas Russell’as parodė, kad sąvoka „aibė aibių, kurios nėra savo pačių nariai“ yra prieštaringa“ (Universalioji enciklopedija, 6 tomas, 265 puslapis).
Kas nutiktų, jei Žemė išsiverstų išvirkščiai?
Toliau kalbėsime apie diferencialinę ir linijinę topologiją. 1958 m. S. Smale suformulavo „rutulio inversijos (arba apsivertimo)“ idėją. Kas tai? Dėsnis, kuris tikrai pralinksmins studentus, studijuojančius bakalauro ar magistro studijose, bet greičiausiai liks nesuprastas platesnės visuomenės...
Kompiuterinės animacijos vystymasis leido pademonstruoti, kad trimatėje erdvėje rutulį įmanoma išversti išvirkščiai. Bet niekuomet negali žinoti – galbūt vieną dieną tai paskatins ir tikrą technologinę revoliuciją?
Kasdienio gyvenimo kontraintuicija
Simpsono kompleksas
Žinome, ką pagalvojote, tačiau šis paradoksas neturi nieko bendro su geltonaisiais žmogeliukais iš visiems puikiai pažįstamo serialo. Net jei tai ir ne apie žymiuosius Simpsonus, tai vis tiek padaro matematikos mokymąsi žymiai įdomesnį.
Statistikas Edward Simpson suformulavo šį paradoksą 1951-aisiais. Jis taikomas duomenų rinkiniams, kurie iš principo atrodo priešingi vienas kitam, kadangi yra taikomi skirtingiems kriterijams.
Pavyzdžiui: kovojant su tam tikra liga, galite pasirinkti iš dviejų gydymo būdų, kurie abu buvo išbandyti viso du kartus. Pirmame bandyme gydymas A išgydė 63 iš 90 žmonių (70 %), o gydymas B – 8 iš 10 (80 %). Antrame bandyme gydymas A išgydė 4 iš 10 (40 %), o gydymas B – 45 iš 90 (50 %).
Žiūrint į šiuos bandymus atskirai, atrodo, kad gydymas B yra sėkmingesnis, tačiau sujungus duomenis matome, kad gydymas A išgydė 67 iš 100 žmonių (67 %), o gydymas B – 53 iš 100 žmonių (53 %). Tai reiškia, kad gydymas A iš tikrųjų yra veiksmingesnis.
Simpsono paradoksas atsiranda tuomet, kai skirtingose grupėse esanti tendencija apsiverčia tas grupes sujungus.
Šis paradoksas yra gana plačiai pritaikomas ir realiame gyvenime, kadangi jis parodo, kaip duomenų sujungimas gali duoti žymiai efektyvesnę informaciją negu pavieniai tyrimai.
Kondorcė ir rinkimų metodika
Tai specifinis metodas, kuris yra taikomas rinkimų sistemai. Čia balsuojantieji renkasi ne vieną kandidatą, o reitinguoją visą jų sąrašą. Kiekvienas egzistuojantis kandidatas ir jo galimybė laimėti pasveriami prieš kitus sąraše esančius kandidatus. To pasekoje, laimėtoju išrenkamas tas kandidatas, kuris vertinamas geriausiai palyginus su kitais.
Iš esmės ši sistema suteikia galimybę „balsuoti pagal tikrus savo nusistatymus, nesijaudinant dėl to, kad jūsų balsas bus „iššvaistytas“ kandidatui, kuris neturi galimybių laimėti“.
Trumpai tariant, tiek nagrinėjant paradoksus, tiek realias gyvenimiškas problemas, galima atrasti būdą, kaip tą padaryti smagiai.
Beje, ar žinojote, kad du tyrinėtojai sykį sugalvojo pasitelkti matematiką tam, kad apskaičiuotų, kas yra pagrindinis GOT serialo veikėjas?
Ar jums patiko šis straipsnis? Pasižymėkite!
Loading...
